5.2 Arithmetic Series - 知识点总结

基本概念

等差数列求和是指将等差数列的前n项相加的过程，记作 \(S_n\)。

例如：等差数列 5, 7, 9, 11 的求和为 \(5 + 7 + 9 + 11\)。

\[S_n = \frac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)\]

其中：\(a\) 是首项，\(d\) 是公差，\(n\) 是项数

\[S_n = \frac{n}{2}(a + l)\]

其中：\(l\) 是第n项（最后一项）

写出等差数列的前n项和：\(S_n = a + (a+d) + (a+2d) + ... + (a+(n-1)d)\)
将和式倒写：\(S_n = (a+(n-1)d) + (a+(n-2)d) + ... + (a+d) + a\)
将两个和式相加：\(2S_n = [a+(a+(n-1)d)] + [(a+d)+(a+(n-2)d)] + ...\)
每对的和都是 \(2a+(n-1)d\)，共有n对
得到：\(2S_n = n[2a+(n-1)d]\)
因此：\(S_n = \frac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)\)

配对法的关键在于将和式正写和倒写后相加，使得每对数的和都相等，从而简化计算。

在使用公式时，要特别注意公差的符号。当公差为负数时，数列是递减的，但求和公式仍然适用。

题目：求使等差数列 \(4 + 9 + 14 + 19 + ...\) 的和超过2000的最少项数
识别：首项 \(a = 4\)，公差 \(d = 5\)
建立不等式：\(\frac{n}{2}(5n + 3) > 2000\)
求解：\(5n^2 + 3n - 4000 > 0\)，得 \(n > 27.99\)
答案：需要28项

1. 混淆首项和第一项：首项是 \(a\)，第一项是 \(a\)，第二项是 \(a+d\)

2. 公差符号错误：递减数列的公差是负数

3. 项数计算错误：要仔细计算项数，特别是涉及不等式的题目

4. 公式选择不当：要根据已知条件选择合适的公式形式